在计算机的数据存储里面，常规思路来看，是只能表示有限位数的整数的。但是，无论是在日常生活中，还是在科学研究领域，小数(严格来讲应该是分数)都是不可或缺的部分。那么，如何让计算机能够存储并使用小数呢？这篇文章就带大家一起来了解下两种常用的小数表示法：定点法和浮点法。

定点数：用二进制来表示小数

​ 其实，整数和小数的主要区别，我们可以不规范地理解为是否存在小数点，对吧？（其实整数也是有小数点的，我们这里暂且这么理解）那么要表示小数，只需要在整数表示的基础上，加一个小数点，不就可以了吗？没错，这就是定点数的思路。

​ 定点数使用二进制，小数点的位置是事先约定好的，在使用的过程中不能改变，这也是定点数的名称的由来。有的同学可能会问了，那么，小数如何从十进制换成定点数呢？不着急，且看下面的例子：

其实很简单，和整数部分的完全相反。连续将小数部分的值乘以2，对于每一次得到的数，若整数为0，则顺序记下一个0，若整数突破了1，则记下1，然后整数部分重置为0，小数部分继续重复上述操作，直到小数部分为0为止。就像下面这样：

十进制的0.125

0.125*2=0.25 （记下0）

0.25*2=0.5 （记下0，则目前为00）

0.5*2=1.0 （整数部分为1，记下1，则目前为001）

小数部分为0，转换结束（这里是刚好结束，若整数位进一后小数部分还有剩余，则把整数部分变成0再继续重复上面的算法）

则十进制0.125的二进制形式为0.001

二进制转十进制：

$101.011_{(2)}$

$\begin{aligned} &=1*2^2+0*2^1+1*2^0+0*2^{-1}+1*2^{-2}+1*2^{-3}\\ &=5\frac{3}{8} \end{aligned}$

​ 看懂了吧，从小数点开始往右数，第一位小数的位权为-1，后面-2，-3以此类推。

​ 二进制小数点向左移动一位，相当于这个数的数值除以2；相反，向右移动一位就是乘以2。

​ 一般在现在计算机的应用中，定点数一般只有两种情况，第一种是小数点在符号位之后，也就是表示纯小数，第二种是在最后，也就是表示整数。这种表示方法的范围并不大，如果需要表示类似于$2*10^{100}$这样的数值的话，那么用定点数的话就会占很大的空间。（毕竟你要很多很多个0才行，对吧）于是乎，我们的先人又开始秀智商了。

浮点数：表示更大范围的小数

​ 上面的例子我们已经看到了定点数的局限性，于是，先人们就祭出了浮点数大法，来让我们更好地表示数(tuō)字(fà)。

​ 如果上面的例子还不能够说服你的话，我下面再举个栗子：

表示一组数，0.123，1.23，12.3，123

​ 如果此时你用定点数来表示的话，你会发现，这四组数字的表示方法完全不同。但是，我们的数学经验却又告诉我们，这几个数字其实是可以用一种通式来表示的，你应该已经想到了，就是科学计数法。如果使用科学计数法，那么这几组数字的通式可以表示为$0.123*10^n$。貌似比什么定点数方便多了。

​ 但是，我们知道，计算机是用来处理二进制的，那么，我们在二进制里面，可不可以打造一套类似于科学计数法的思路来表示小数呢——这就是浮点数的基本思路。浮点数的表示方法有点类似科学计数法，但是又比科学计数法要复杂。

​ 不多废话，我们来看看到底有什么猫腻。

​ 在IEEE 754中，规定了浮点数用以下形式来表示：

$V=(-1)^S \cdot M \cdot 2^E$

​ 有点懵？先不着急，首先这个公式的三个部分，分别是符号位*尾数*阶码

• 符号位(Sign)：决定这个数是正数(S=0)还是负数(S=1)；
• 尾数(Frac)：决定这个数的精度以及主体部分，这里采用定点法表示；
• 阶码(Exp)：决定这个数的范围，它是一个加权值，权重是2的E次幂。

浮点数常用的有两种：单精度浮点数和双精度浮点数。

单精度浮点数用32bit来存储，其结构如下：

| S(1bit) || Exp(8bit) || Frac(23bit) |

而双精度浮点则使用64bit来存储，结构如下：

| S(1bit) || Exp(11bit) || Frac(52bit) |

​ 我们现在知道了浮点数的封装结构，那我们接下来来了解下它是如何表示小数的。

• 规格化的值

  当Exp字段不全为0或不全为1时，表示的就是规格化的值。这几乎表示了绝大部分日常浮点数的情况。

  此时，阶码使用移码来表示。什么是移码呢？我们要知道，Exp字段是表示无符号数字的，这样更方便计算(不用涉及到反码什么的)。但是，我们日常生活中，指数是可能为负数的，对吧？那么如何使用无符号的数字来表示有符号的数字呢？很简单，加个偏移量就行了。比如我们现在要表示-5到+5的数字，但是我们必须要用无符号来表达，那么很自然，我们把这里面所有的数字都加个5，变成了0到10，那么系统要调用的时候，再把每个值都减去5即可。这个5实际上就是偏移量。那么这个偏移量我们怎么知道呢？记住公式即可$Bias=2^{n-1}-1$，其中Bias就是偏移量。既然都讲到了Exp字段，自然是要来算指数了，那么指数E该怎么求出？还是公式：$E=Exp-Bias$，直接减去偏移量即可。

  而Frac则用来表示尾数的(用定点数的方式表达，纯小数)。尾数定为$M=1+Frac$，你可以理解为这种情况下，尾数中的1是白送的，加上去即可。

• 非规格化的值

  当Exp字段全部为0时，就是非规格化的值，此时$E=1-Bias$，$M=Frac$。此刻，尾数的值就是小数的值，整数部分不是1而是0，这种情况用于表示很接近0.0的小数。

• 无穷大

  当Exp字段全为1且Frac字段全为0时，则表示无穷大。若$S=0$则表示$+\infty$，$S=1$则表示$-\infty$。

• NaN(Not a Number)

  在无穷大的情况下$Frac\neq0$时，表示不是实数或者不能使用无穷大表示的情况。

说了那么多，大家估计也有点晕了，我们不妨再来两个栗子看看到底该怎么使用上述的方法。

先看看浮点数转为我们能看得懂的小数。

某天，Harris碰到了一个浮点数

1 01111100 11100000000000000000000

首先我们看到符号位，是1，说明这玩意儿是个负数，再看看阶码，杂乱无章，想必就是规格化的值了。好的，套方法。先把尾数转化

$1\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}=\frac{7}{8}$

再白嫖个1，那么就是$1\frac{7}{8}$。尾数部分搞定了，再看看指数。

偏移量$=2^{8-1}-1=127$，指数E于是就顺水推舟

$\begin{aligned} E&=01111100_{(2)}-127_{(10)}\\ &=124-127\\ &=-3 \end{aligned}$

再利用上述的公式

$\begin{aligned} V &=(-1)^S*M*2^E \\ &=(-1)^1*1\frac{7}{8}*2^{-3} \\ &=-\frac{15}{64} \\ &=-0.234375 \end{aligned} ‬$

上述方法大家应该都能看懂，我们再来看看我们常用的十进制小数如何转化成浮点数表示。

来个简单点的，就3.125吧。

首先，我们将这个小数用定点数的方法表示出来

$\begin{aligned} &3.125_{(10)}\\ =&11.001_{(2)} \end{aligned}$

完成转换之后，我们可以得到

$11.001_{(2)}=1.1001\times 2^1$

于是E就等于了1，尾数部分把白嫖的1还回去

$\begin{aligned} Frac&=M-1\\ &=1.1001-1\\ &=0.10010000000000000000000 \end{aligned}$

假设我们转换成单精度浮点，则偏移量

$Bias=2^{8-1}-1=127$

$\begin{aligned} Exp&=E+Bias\\ &=1+127=128_{(10)}\\ &=‭10000000_{(2)}‬ \end{aligned}$

又由于这货是个正数，符号位是0，于是，浮点数表示就出来啦：

0 10000000 10010000000000000000000

其实还是挺简单的，对吧？

​ 好啦，今天的博客就到此结束了。这期实在是有点丰富，所以，一次性理解不了没关系，多自己在纸上写写，也许就开窍了呢？