所谓积分变限函数，就是能够将你所学知识变现的函数 在积分的上下限中加入了一个函数。由于函数的值在自变量不同的时候也不同，因此这个上下限也是不定的，故曰此名。

那么，这样的积分函数是不是就没法求了呢？就这么点难度怎么可能难得住咱们勤劳有智慧的人们呢？下面就来看看，这种阴险狡诈的积分函数到底怎么求。

积分变限函数一般分为3种：仅上限为函数、仅下限为函数和上下限都为函数。

我们挨个来看看。

仅上限为函数

这种情况下，只需要把上限函数带入到被积函数里面去即可。如：

$y=\int_{a}^{f(x)} g(t)\,{\rm d}t\Rightarrow y^\prime=g\big(f(x)\big)\,{\rm d}f^\prime(x)$

比如像下面这个函数，咱们来试试：

$\begin{aligned} y&=\int^{x^2}_1 e^{t^2}{\rm d}t\\ \Rightarrow y^\prime&=e^{(x^2)^2}{\rm d}x^2=2x\cdot e^{x^4} \end{aligned}$

仅下限为函数

这种情况我们就需要通过添加负号来转换成刚刚我们学的形式，再使用刚刚的方法来解决就可以了。

$y=\int^a_{f(x)}g(t)\,{\rm d}t\Rightarrow y=-\int^{f(x)}_a g(t)\,{\rm d}t$

然后就可以用我们刚刚介绍的方法来进行计算啦：

$y^{\prime}=-g\big(f(x)\big)\cdot f^\prime(x)$

举个栗子：

$\begin{aligned} y&=\int^0_x e^t\cos 3t\,{\rm d}t\\ \Longrightarrow y&=-\int^x_0 e^t\cos 3t\,{\rm d}t\\ \Longrightarrow y^\prime & =-e^x\cos 3x\,{\rm d}x\\ &=-e^x\cos 3x\\ \end{aligned}$

上下限均为函数

这种情况，需要将其分为两个积分来求导，像下面这样：

$\begin{aligned} & y=\int^{g(x)}_{h(x)}f(t)\,{\rm d}t \\ \Longrightarrow & y=\int^{g(x)}_0f(t)\,{\rm d}t +\int^0_{h(x)}f(t)\,{\rm d}t \\ \end{aligned}$

分界点视具体情况而定。接下来使用负号：

$\begin{aligned} & y=\int^{g(x)}_0f(t)\,{\rm d}t +\int^0_{h(x)}f(t)\,{\rm d}t\\ \Longrightarrow & y=\int^{g(x)}_0f(t)\,{\rm d}t -\int^{h(x)}_0f(t)\,{\rm d}t\\ \end{aligned}$

当然，其实这种类型，有公式可以套，也可以自己推导哦：

$\begin{aligned} y^\prime &=\left(\int^{g(x)}_{h(x)}f(t)\,{\rm d}t\right)^\prime\\ &=f\big(g(x)\big)\cdot g^\prime(x)-f\big(h(x)\big)\cdot h^\prime(x)\\ \end{aligned}$

其实这样的题目看起来复杂，实际上只要掌握了技巧和方法，解决就是分分钟的事情了！这节的内容非常简单，相信你很快就能够掌握。